Question

4．已知实数x，y满足可行域D：$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-3≥0}\\{x-y+1≥0}\\{3x+y-9≤0}\end{array}\right.$，曲线T：|x|+|y-5|+a=0，恰好平分可行域D的面积，则a的值为（　　）

• A． -4
• B． -4$\sqrt{2}$
• C． -6
• D． 2$\sqrt{2}$-8

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，确定x，y的取值范围将曲线进行化简，利用面积关系进行转化求即可即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，1），C（3，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{3x+y-9=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即B（2，3），
则x≥0且0≤y≤3，
则曲线T：|x|+|y-5|+a=0，等价为x-y+5+a=0，
则曲线x-y+5+a=0与直线AB：x-y+1=0平行，
则C到AB：x-y+1=0的距离d_AB=$\frac{|3-0+1|}{\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4．
∵T：|x|+|y-5|+a=0，恰好平分可行域D的面积，
∴设C到x-y+5+a=0的距离d，
则$（\frac{d}{{d}_{AB}}）^{2}=\frac{1}{2}$，即$\frac{d}{{d}_{AB}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即d=$\frac{\sqrt{2}}{2}×{d}_{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}×2\sqrt{2}=2$，
则d=$\frac{|3-0+5+a|}{\sqrt{2}}=\frac{|8+a|}{\sqrt{2}}$=2，
即|a+8|=2$\sqrt{2}$，
解得a+8=2$\sqrt{2}$，或a+8=-2$\sqrt{2}$，
即a=2$\sqrt{2}$-8或a=-2$\sqrt{2}$-8（舍）．
故选：D．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据图象将曲线进行化简是解决本题的关键，考查学生的运算和推理能力．