Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2，AD=CD=1，E是线段PB的中点．
（1）证明：AC⊥平面PBC；
（2）若点P到平面ACE的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求三棱椎P-ACD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点M，连接CM，由已知可得：四边形CDAM是正方形，CM=MA=MB，可得AC⊥CB，PC⊥底面ABCD，于是PC⊥AC，即可证明AC⊥平面PBC；
（2）在平面PBC内作PH⊥CE，垂足为H．由（1）可得：平面PBC⊥平面PBC，在平面PBC内作PH⊥CE，垂足为H，可得PH⊥平面ACE，PH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．设PC=t，S_△PCE=$\frac{1}{2}$S△PBC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t．又S_△PCE=$\frac{1}{2}$CE•PH，解得t，即可得到V_P-ACD=$\frac{1}{3}$•S_△ACD•PC．

解答 （1）证明：取AB的中点M，连接CM，
∵AM=$\frac{1}{2}$AB=1=CD=AD，AB⊥AD，AB∥CD，
∴四边形CDAM是正方形，CM=MA=MB，
∴AC⊥CB，
∵PC⊥底面ABCD，
∴PC⊥AC，又PC∩BC=C，
∴AC⊥平面PBC；
（2）解：在平面PBC内作PH⊥CE，垂足为H．
由（1）可得：平面PBC⊥平面AEC，
在平面PBC内作PH⊥CE，垂足为H，则PH⊥平面ACE，
∴PH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
设PC=t，则PB=$\sqrt{2+{t}^{2}}$，CE=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}\sqrt{2+{t}^{2}}$，
又S_△PBC=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}$t，S_△PCE=$\frac{1}{2}$S_△PBC=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t．
由S_△PCE=$\frac{1}{2}$CE•PH，
得$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{2+{t}^{2}}}{2}$•$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$t，解得t=1，即PC=1．
∴V_P-ACD=$\frac{1}{3}$•S_△ACD•PC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1=\frac{1}{6}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．