Question

10．试比较nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的大小，分别取n=1，2，3，4，5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是归纳推理与数学归纳法，我们可以列出nⁿ⁺¹与（n+1）ⁿ（n∈N^*）的前若干项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明．

解答 解：当n=1时，nⁿ⁺¹=1，（n+1）ⁿ=2，此时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n=2时，nⁿ⁺¹=8，（n+1）ⁿ=9，此时，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
当n=3时，nⁿ⁺¹=81，（n+1）ⁿ=64，此时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
当n=4时，nⁿ⁺¹=1024，（n+1）ⁿ=625，此时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ，
根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．
证明：①当n=3时，nⁿ⁺¹=3⁴=81＞（n+1）ⁿ=4³=64
即nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ成立．
②假设当n=k时，k^k+1＞（k+1）^k成立，即：$\frac{{k}^{k+1}}{（k+1）^{k}}$＞1
则当n=k+1时，$\frac{（k+1）^{k+2}}{（k+2）^{k+1}}$=（k+1）（$\frac{k+1}{k+2}$）^k+1＞（k+1）（$\frac{k}{k+1}$）^k+1=$\frac{{k}^{k+1}}{（k+1）^{k}}$＞1
即（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1成立，即当n=k+1时也成立，
∴当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n∈N^*）恒成立．

点评 本题考查了数学归纳法的应用，证明步骤的应用，归纳推理，考查计算能力，属于中档题．