Question

18．设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数．令g₁（x）=g（x），${g_{n+1}}=g（{g_n}（x）），n∈{N^+}$，请猜想出g_n（x）的表达式，并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

分析 由题意猜想g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$，利用数学归纳法的证明步骤进行证明．

解答 解：由题设得，g（x）=$\frac{x}{1+x}$（x≥0）．由已知得，g₁（x）=$\frac{x}{1+x}$，
g₂（x）=g（g₁（x））=$\frac{\frac{x}{1+x}}{1+\frac{x}{1+x}}$=$\frac{x}{1+2x}$，g₃（x）=$\frac{x}{1+3x}$，…，可得g_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$，
下面用数学归纳法证明．
①当n=1时，g₁（x）=$\frac{x}{1+x}$，结论成立．                           
②假设n=k（k≥2且k∈N^*）时结论成立，
即g_k（x）=$\frac{x}{1+kx}$．那么，当n=k+1时，
g_k+1（x）=g（g_k（x））=$\frac{gk（x）}{1+gk（x）}$=$\frac{\frac{x}{1+kx}}{1+\frac{x}{1+kx}}$=$\frac{x}{1+（k+1）x}$，
即结论成立．                                                  
由①②可知，结论对n∈N^*成立．

点评 本题考查数学归纳法，考查学生的计算能力，考查猜想与证明，正确理解数学归纳法的证明步骤是关键．