Question

3．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，n=1，2，3，…
（1）计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想{a_n}的通项公式；
（2）用数字归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据题设条件，可求a₂，a₃，a₄的值，猜想{a_n}的通项公式．
（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．

解答 解：（1）由已知可得，a₂=$\frac{2}{7}$，a₃=$\frac{2}{13}$，a₄=$\frac{2}{19}$．
猜想a_n=$\frac{2}{6n-5}$．
（2）证明：①当n=1时，左边a₁=2，右边$\frac{2}{6×1-5}$=2，猜想成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时猜想成立，即a_K=$\frac{2}{6k-5}$．
则n=k+1时，a_k+1=$\frac{{a}_{k}}{3{a}_{k}+1}$=$\frac{\frac{2}{6k-5}}{3×\frac{2}{6k-5}+1}$=$\frac{2}{6+6k-5}$=$\frac{2}{6（k+1）-5}$                  
所以当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对于任何k∈N^*都成立．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．