Question

13．若等差数列{a_n}的首项为a₁=C_5m^11-2m-A_11-3m^2m-2（m∈N），公差是${（\frac{5}{2x}-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}）^n}$展开式中的常数项，其中n为77⁷⁷-15除以19的余数，求通项公式a_n．

Answer 1

分析 由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{5m≥11-2m}\\{11-3m≥2m-2}\end{array}\right.$，解不等式可得m值，进而可得a₁，由二项展开式可得n=5，再由二项展开式的通项可得r值，可得通项公式．

解答 解：由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{5m≥11-2m}\\{11-3m≥2m-2}\end{array}\right.$，解得$\frac{11}{7}$≤m≤$\frac{13}{5}$，
又∵m∈N，∴m=2，∴${a_1}=C_{10}^7-A_5^2=100$，
又77⁷⁷-15=${（19×4+1）^{77}}-15=C_{77}^0+C_{77}^1（19×4）+…+C_{77}^{77}{（19×4）^{77}}-15$
=$（19×4）[C_{77}^1+C_{77}^2（19×4）+…+C_{77}^{77}{（19×4）^{76}}]-19+5$
∴77⁷⁷-15除以19的余数为5，即n=5                    
又${T_{r+1}}=C_5^r{（\frac{5}{2x}）^{5-r}}{（-\frac{2}{5}\root{3}{x^2}）^r}=C_5^r{（\frac{5}{2}）^{5-2r}}{x^{\frac{5r-15}{3}}}{（-1）^r}$，
令5r-15=0可解得r=3，∴$d=C_5^3{（\frac{5}{2}）^{5-6}}{（-1）^3}=-4$，
∴a_n=a₁+（n-1）d=104-4n

点评 本题考查二项式定理，涉及等差数列的通项公式和排列组合数的性质，属中档题．