Question

8．利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P-ABCD，其中底面四边形ABCD是边长为1的正方形，PA=1，且PA⊥平面ABCD，则毛球体坏体积的体积最小应为$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．

Answer 1

分析 将四棱锥P-ABCD补全为一个正方体，得出正方体为球的内接正方体时球的体积最小，由此求出球的体积．

解答 解：如图，
将四棱锥P-ABCD补全为一个正方体，则：
当正方体为球的内接正方体时球的体积最小，
此时正方体的体对角线为球的直径，
长为2R=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{3}$，R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴球的体积为：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{4}{3}π×（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}π$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}π$．

点评 本题考查了球的体积公式的求法，考查数学转化思想方法，解题的关键是对题意的理解，是中档题．