Question

11．已知数列{a_n}前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}的通项公式为b_n=qⁿ（q为常数）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的通项和前n项和的关系：n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简计算即可得到所求通项；
（2）对q讨论，①q=0，②q=1，由等差数列的求和公式可得，③q≠0且q≠1，运用错位相减法，即可得到所求．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=1；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$n（n+1）-$\frac{1}{2}$（n-1）n=n．
而n=1时，也满足该通项．
故综上可知：a_n=n；
（2）令c_n=a_n•b_n=nqⁿ，
①q=0，T_n=0，
②q=1时，c_n=n，得T_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
③q≠0且q≠1时，T_n=q+2q²+…+nqⁿ
qT_n=q²+2q³+…+（n-1）qⁿ+nqⁿ⁺¹，
两式相减得：
（1-q）T_n=（q+q²+q³+…+qⁿ）-nqⁿ⁺¹．
（1-q）T_n=$\frac{q（1-{q}^{n}）}{1-q}$-nqⁿ⁺¹，
∴T_n=$\frac{q（1-{q}^{n}）}{（1-q）^{2}}$-$\frac{n{q}^{n+1}}{1-q}$，
综上：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（n+1），q=1}\\{\frac{q（1-{q}^{n}）}{（1-q）^{2}}-\frac{n{q}^{n+1}}{1-q}，q≠1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项和前n项和的关系，同时考查数列的求和方法：错位相减法，注意对等比数列的公比的讨论，属于中档题和易错题．