Question

19．在△ABC中，若∠C=90°，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则$\frac{a+b}{c}$的取值范围是（　　）

• A． （0，$\sqrt{2}$]
• B． [$\frac{\sqrt{2}}{2}，\sqrt{2}$]
• C． （$\sqrt{2}，2$）
• D． （1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 根据正弦定理进行化简，结合两角和差的正弦公式进行化简即可．

解答 解：由正弦定理得a=csinA，b=ccosA，
则$\frac{a+b}{c}$=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜A+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴1＜$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$≤$\sqrt{2}$，
即$\frac{a+b}{c}$的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，利用两角和差的正弦公式以及三角函数的性质是解决本题的关键．