Question

3．在矩形ABCD中，AB=4，|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{17}$，E为线段AB上一点，且BD⊥CE，则$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DE}$=14．

Answer 1

分析 由题意建立平面直角坐标系，得到A，B的坐标，结合|$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{17}$得到C，D的坐标，然后设出点E的坐标，由BD⊥CE求得E的坐标，然后再由数量积的坐标运算得答案．

解答 解：如图，以A为原点，AB、AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．
则A（0，0），B（4，0），
∵$|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{DB}|=\sqrt{17}$，
∴$|\overrightarrow{AD}|=1$，则D（0，1），C（4，1），
设E（x，0），$\overrightarrow{CE}=（x-4，-1），\overrightarrow{BD}=（-4，1）$，
则$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{CE}=4（4-x）-1=0$．
∴x=$\frac{15}{4}$，∴$\overrightarrow{DE}=（\frac{15}{4}，-1）$．
又$\overrightarrow{AC}=（4，1）$，∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{DE}=15-1=14$．
故答案为：14．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，建立坐标系求解是解答该题的关键，属中档题．