Question

16．已知函数f（x）=|1-$\frac{1}{x}$|，g（x）=f（x）-kx，求：讨论函数g（x）的单调性．

Answer 1

分析 去绝对值得到g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}-kx}&{x＜0，或x≥1}\\{\frac{1}{x}-kx-1}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$，从而可对每段函数求导数：x＜0，或x≥1时，g′（x）=$\frac{1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$，0＜x＜1时，g′（x）=$\frac{-1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$，这时候可讨论k的值，从而可判断导函数g′（x）的符号，从而判断出函数g（x）的单调性，找到g（x）在每种k的取值下的单调区间．

解答 解：g（x）=$|1-\frac{1}{x}|-kx$=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}-kx}&{x＜0，或x≥1}\\{\frac{1}{x}-kx-1}&{0＜x＜1}\end{array}\right.$；
x＜0，或x≥1时，g′（x）=$\frac{1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$；0＜x＜1时，g′（x）=$\frac{-1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}$；
∴①k＞0时，$\frac{-1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}＜0$；
∴g（x）在（0，1）上单调递减；
②$0＜\frac{1}{k}≤1$，即k≥1时，x$＜-\sqrt{\frac{1}{k}}$或x≥1时，g′（x）＜0，$-\sqrt{\frac{1}{k}}＜x＜0$时，g′（x）＞0；
即g（x）在（-∞，$-\sqrt{\frac{1}{k}}$），[1，+∞）上单调递减，在$[-\sqrt{\frac{1}{k}}，0）$上单调递增；
③$\frac{1}{k}＞1$，即0＜k＜1时，$1≤x＜\sqrt{\frac{1}{k}}$或$-\sqrt{\frac{1}{k}}＜x＜0$时，g′（x）＞0，$x＜-\sqrt{\frac{1}{k}}$或x$＞\sqrt{\frac{1}{k}}$时，g′（x）＜0；
即g（x）在$（-∞，-\sqrt{\frac{1}{k}}）$，（$\sqrt{\frac{1}{k}}$，+∞）上单调递减，在（$-\sqrt{\frac{1}{k}}$，0），[1，$\sqrt{\frac{1}{k}}$）上单调递增；
（2）k=0时，$\frac{1}{{x}^{2}}＞0，-\frac{1}{{x}^{2}}＜0$；
∴g（x）在（-∞，0），[1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
（3）①k＜0时，$\frac{1-k{x}^{2}}{{x}^{2}}＞0$；
∴g（x）在（-∞，0），[1，+∞）上单调递增；
②$0＜-\frac{1}{k}＜1$，即k＜-1时，$0＜x＜\sqrt{-\frac{1}{k}}$时，g′（x）＜0，$\sqrt{-\frac{1}{k}}＜$x＜1时，g′（x）＞0；
即g（x）在（0，$\sqrt{-\frac{1}{k}}$）上单调递减，在（$\sqrt{-\frac{1}{k}}$，1）上单调递增；
③$-\frac{1}{k}≥1$，即-1≤k＜0时，0＜x＜1时，g′（x）＜0；
即g（x）在（0，1）上单调递减．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，注意对k的讨论不重不漏，熟悉一元二次不等式的解法．