【题目】如图,已知四棱锥,
,侧面
是边长为4的等边三角形,底面
为菱形,侧面
与底面
所成的二面角为
.
(1)求点到平面
的距离;
(2)若为
的中点,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)3.(2)
【解析】
试题分析:(1)取的中点
,则
,因为
,所以
,从而
为侧面
与底面
所成的二面角的平面角,即
,再作
,垂足为点
,因此
(2)根据垂直关系,建立空间直角坐标系:以
为坐标原点,使
轴与
平行,
所在直线分别为
轴,求出各点坐标,利用方程组解出各面法向量,最后根据向量数量积求夹角,再由二面角与法向量夹角关系确定结论
试题解析:(1)解:如图,作平面
,垂足为点
,
连接与
交于点
,连接
.
∵,∴
.
∵,∴
.
∴点为
的中点,所以
.
由此知,为侧面
与底面
所成的二面角的平面角,
∴,
.
由已知可求得:,
∴,
即点到平面
的距离为3.
(2)如图以为坐标原点,使
轴与
平行,
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系
,则
,
,∴
,
,
,
∴,
,
.
设平面的法向量为
,则
,令
,则
,∴
.
设平面的法向量为
,则
,
令,则
,∴
,
.
记二面角为
,
,
即二面角的正弦值为
.
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【题目】某公司为了准确地把握市场,做好产品生产计划,对过去四年的数据进行整理得到了第年与年销量
(单位:万件)之间的关系如下表:
(1)在图中画出表中数据的散点图;
(2)根据散点图选择合适的回归模型拟合与
的关系(不必说明理由);
(3)建立关于
的回归方程,预测第5年的销售量.
附注:参考公式:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
.
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【题目】如图,三棱柱中,底面
为正三角形,
底面
,且
,
是
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)在侧棱上是否存在一点
,使得三棱锥
的体积是
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC. (Ⅰ)求A的大小;
(Ⅱ)求sinB+sinC的最大值.
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【题目】已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn , 且满足a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求通项an;
(2)若数列{bn}满足bn= ,是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列?若存在,求出c的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在一条生产线上按同样的方式每隔30分钟取一件产品,共取了n件,测得其产品尺寸后,画得其频率分布直方图如图所示,已知尺寸在[15,45)内的频数为46.
(1)该抽样方法是什么方法?
(2)求n的值;
(3)求尺寸在[20,25)内的产品的件数.
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【题目】某市出租车的计价标准是:4km以内(含4km)10元,超过4km且不超过18km的部分1.2元/km,超过18km的部分1.8元/km,不计等待时间的费用.
(1)如果某人乘车行驶了10km,他要付多少车费?
(2)试建立车费y(元)与行车里程x(km)的函数关系式.
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