【题目】已知函数f(x)= 是奇函数
(1)求a的值;
(2)判断函数的单调性,并给予证明.
【答案】
(1)解:∵f(x)是奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x)
即 ,
即
整理得:(2x﹣1)(a﹣2)=0对任意x∈R都成立,
∴a﹣2=0,
即a=2
(2)解:此时 ,
f(x)在x∈R是增函数,理由如下:
证法一:任取x1,x2∈R,且x1<x2
则
∵x1<x2,且函数y=2x是增函数,
∴ <0, >0
∴f(x1)﹣f(x2)<0,
所以函数f(x)在R是增函数.
证法二:∵ ,
∴ ,
∵f′(x)>0恒成立,
所以函数f(x)在R是增函数
【解析】(1)由函数f(x)= 是奇函数,f(﹣x)=﹣f(x)恒成立,可得a的值;(2)f(x)在x∈R是增函数,
证法一:任取x1 , x2∈R,且x1<x2 , 作差判断出f(x1)﹣f(x2)<0,结合单调性的定义,可得:函数f(x)在R是增函数;
证法二:求导,根据f′(x)>0恒成立,可得:函数f(x)在R是增函数.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较),还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有效,则服药一次治疗该疾病有效的时间为( )
A.4小时
B.
C.
D.5小时
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的普通方程为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(I)求直线的极坐标方程与曲线的参数方程;
(II)设点D在曲线上,且曲线在点D处的切线与直线垂直,试确定点D的坐标.
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【题目】已知函数f(x)=.
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域;
(Ⅱ)判定f(x)的奇偶性并证明;
(Ⅲ)用函数单调性定义证明:f(x)在(1,+∞)上是增函数.
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【题目】设函数g(x)=3x , h(x)=9x .
(1)解方程:h(x)﹣8g(x)﹣h(1)=0;
(2)令p(x)= ,求值:p( )+p( )+…+p( )+p( ).
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【题目】在△ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )
A.a=7,b=14,A=30°
B.a=20,b=26,A=150°
C.a=30,b=40,A=30°
D.a=72,b=60,A=135°
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【题目】原命题:“,为两个实数,若,则,中至少有一个不小于1”,下列说法错误的是
A.逆命题为:若,中至少有一个不小于1则,为假命题
B.否命题为:若则,都小于1 ,为假命题
C.逆否命题为:若,都小于1则 ,为真命题
D.“”是“,中至少有一个不小于1”的必要不充分条件
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【题目】对于任意实数x,不等式ax2+2ax﹣(a+2)<0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.﹣1≤a≤0
B.﹣1≤a<0
C.﹣1<a≤0
D.﹣1<a<0
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【题目】新生儿Apgar评分,即阿氏评分是对新生儿出生后总体状况的一个评估,主要从呼吸、心率、反射、肤色、肌张力这几个方面评分,满10分者为正常新生儿,评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息,评分在4分以下考虑患有重度窒息,大部分新生儿的评分多在7-10分之间,某市级医院妇产科对1月份出生的新生儿随机抽取了16名,以下表格记录了他们的评分情况.
(1)现从16名新生儿中随机抽取3名,求至多有1名评分不低于9分的概率;
(2)以这16名新生儿数据来估计本年度的总体数据,若从本市本年度新生儿任选3名,记表示抽到评分不低于9分的新生儿数,求的分布列及数学期望.
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