Question

【题目】已知数列与的前项和分别为与，对任意，．

（1）若，求；

（2）若对任意，都有．

①当时，求数列的前项和；

②是否存在两个整数，使成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②不存在正整数，理由见解析

【解析】

（1）根据和，可得数列的通项公式，代入，可得数列的通项公式，计算即得；（2）①根据可得，即得数列的通项公式，再利用错位相减法计算即得；②根据已知可得的通项公式，计算即得，假设整数存在，使成等差数列，表示出，再结合函数单调性即可判断出结论.

（1），，即，

故，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，

.

（2）①依题意，即，，

又因为，所以，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，

，

，错位相减得：，

所以.

②，且对任意，都有，，即，，可得为等比数列，

，，则有，得，，

所以，

假设存在两个整数，使成等差数列，

即成等差数列，即，

即 ，因为，所以，即，

令，则，所以递增，

若，则，不满足，所以，

代入得，

当时，显然不符合要求；

当时，令，则同理可证递增，所以，所以不符合要求.

所以，不存在正整数，使成等差数列.