Question

如图7，在三棱锥P—ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC.

图7

(1)求证:OD∥平面PAB；

(2)当k=时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

(3)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

(1)证明:∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD∥PA.

又PA平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(2)解:∵AB⊥BC,OA=OC,

∴OA=OB=OC.

又∵OP⊥平面ABC,

∴PA=PB=PC.

取BC中点E,连接PE,则BC⊥平面POE.

作OF⊥PE于F,连接DF,则OF⊥平面PBC.

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成的角的大小等于∠ODF.

在Rt△ODF中,sin∠ODF==,

∴PA与平面PBC所成角的正弦值为.

（3）解:由(2)知OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影.

∵D是PC的中点，若点F是△PBC的重心，则B、F、D三点共线.

∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.