Question

4．二次函数f（x）=x²-2bx+a，且f（x）=f（2-x），且方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有两个相等实根，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由f（x）=f（2-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，求得b=1．根据方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有两个相等实根，它的判别式△=0，求得a的值，克的函数f（x）的解析式．

解答 解：根据二次函数f（x）=x²-2bx+a，满足f（x）=f（2-x），
可得f（x）的图象关于直线x=1对称，即 b=1，f（x）=x²-2x+a．
方程f（x）-$\frac{3}{4}$a=0有两个相等实根，即 x²-2x+$\frac{a}{4}$=0有两个相等实根，
故有它的判别式△=4-a=0，求得a=4，∴f（x）=x²-2x+4．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．