Question

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．P，Q分别是棱DD₁，CD的中点．
（1）证明：AC₁⊥平面A₁BD；PQ∥平面A₁BD；
（2）探究：在棱B₁C₁上是否存在点M，使得二面角M-BD-A₁的大小为45°？若存在，则求出B₁M的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明：连接AC，根据三垂线定理可得：AC₁⊥BD并且AC₁⊥A₁B，再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直．
由P，Q分别是棱DD₁，CD的中点，可得PQ∥A₁B，再根据线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，再利用向量的有关运算得到两个平面的二面角，进而得到一个等式，即可求出答案．

解答：解：（1）证明：连接AC，所以AC是AC₁在底面内的射影，
因为在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所以AC⊥BD，
所以根据三垂线定理可得：AC₁⊥BD，同理可得：AC₁⊥A₁B，
因为BD∩A₁B=B，
所以AC₁⊥平面A₁BD．
因为P，Q分别是棱DD₁，CD的中点，
所以PQ∥CD₁，
所以PQ∥A₁B，
又因为A₁B?平面A₁BD，
所以PQ∥平面A₁BD．
（2）建立空间直角坐标系，如图所示：则A₁（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），设M（1，y，1），

所以

A1B

=(1，0，-1)，

BD

=(-1，1，0)，

BM

=(0，y，1)，
设平面A₁BD与平面BDM的法向量分别为：

n

=(x1，y1，z1)，

m

=(x2，y2，z2)，
所以

n •  A1B =0 n • BD =0

，即

x1-z1=0 y1-z1=0

，取

n

=(1，1，1 )．
同理可得：

m

=(1，1，-y)．
因为二面角M-BD-A₁的大小为45°，
所以cos＜

n

，

m

＞=

2-y

3 2+y2

=

2

2

，解得：y=3

2

-4，
所以|B₁M|=3

2

-4．
所以在棱B₁C₁上存在点M，使得二面角M-BD-A₁的大小为45°，并且B₁M的值为3

2

-4．

点评：本题主要考查线面平行于线面垂直的判定定理，以及利用空间向量解决二面角的平面角的问题．