Question

3．关于的不等式ax-b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式$\frac{ax+b}{x-2}≤3a-b$的解集用区间表示为（-∞，2）∪[5，+∞）．

Answer 1

分析 根据题意和一元一次不等式的解法列出不等式组，求出a、b的关系和符号，代入分式不等式化简后等价转化，由一元二次不等式的解法求出答案．

解答 解：由题意知，不等式ax-b＞0的解集是（1，+∞），
则当且仅当a＞0时，不等式ax-b＞0的解集为$（{\frac{b}{a}\;，\;+∞}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\ \frac{b}{a}=1\end{array}\right.$，即b=a＞0，
所以不等式 $\frac{ax+b}{x-2}≤3a-b$可化为 $\frac{x+1}{x-2}≤2$，则$\frac{x+1}{x-2}-2≤0$，
即$\frac{5-x}{x-2}≤0$，即$\frac{x-5}{x-2}≥0$，等价于$\left\{\begin{array}{l}（{x-2}）（{x-5}）≥0\\ x-2≠0\end{array}\right.$，
解得x＜2或x≥5，其解集为 （-∞，2）∪[5，+∞），
故答案为：（-∞，2）∪[5，+∞）．

点评 本题考查分式不等式的解法及其转化，一元一次、一元二次不等式的解法，考查转化思想，化简、变形能力．