Question

8．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱D₁C₁的中点，试求$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$与$\overrightarrow{DE}$所成角的余弦值．

Answer 1

分析 设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，求出向量的坐标，利用向量方法求$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$与$\overrightarrow{DE}$所成角的余弦值．

解答 解：设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，则A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），D（0，0，0），E（0，1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，2），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$与$\overrightarrow{DE}$所成角的余弦值为：cos＜$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{2}{\sqrt{4+4}•\sqrt{1+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成角，考查向量方法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．