Question

20．函数f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow{b}$=$（sinθ，\sqrt{3}sinθ+2cosθ）$，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（1）若点P的坐标为$（\frac{1}{2}\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，求f（θ）的值；
（2）若点P（x，y）满足y=1，|x|≤1，试确定θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积的定义和坐标公式，建立条件关系，根据三角函数的定义，即可得到结论；
（2）作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到f（θ）的最小值．

解答 解：（1）由P$（\frac{1}{2}\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，且0≤θ≤π得θ=$\frac{π}{3}$；
f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$si{n}^{2}θ+\sqrt{3}sinθcosθ+2co{s}^{2}θ$=$1+co{s}^{2}θ+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ$
=$1+\frac{1+cos2θ}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ+\frac{1}{2}cos2θ+\frac{3}{2}$=$sin（2θ+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$．
∴f（θ）=f（$\frac{π}{3}$）=$sin（2×\frac{π}{3}+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$=2；
（2）如图，作出平面区域Ω为线段AB．

则得θ∈[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，
f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
∵θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴2θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2}{3}π$，$\frac{5}{3}π$]，
∴f（θ）的最小值=f（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$．

点评 本题主要三角函数的图象和性质，利用平面向量的数量积公式进行化简是解决本题的根据，注意线性规划的应用，是中档题．