Question

9．已知偶函数y=f（x）对于任意的$x∈[0，\frac{π}{2}）$满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的是（　　）

• A． $\sqrt{2}f（-\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{4}）$
• B． $\sqrt{2}f（-\frac{π}{3}）＜f（-\frac{π}{4}）$
• C． $f（0）＞\sqrt{2}f（-\frac{π}{4}）$
• D． $f（\frac{π}{6}）＜\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 设g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，则可判断g（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，利用g（x）的单调性，结合f（x）的奇偶性即可判断．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，则g′（x）=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，
∵对于任意的$x∈[0，\frac{π}{2}）$满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上是增函数，
∴g（0）＜g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
即f（0）＜$\frac{f（\frac{π}{6}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$，
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$），
又f（x）是偶函数，
∴$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＞f（-$\frac{π}{4}$），f（0）＜$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$），
故选D．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，函数奇偶性的性质，根据所给条件构造函数g（x）是解题的关键．