Question

1．已知函数f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$．
（1）求函数f（x）的单调减区间；
（2）已知△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中b=2，若锐角A满足f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=3，且$\frac{π}{4}$≤B≤$\frac{π}{3}$，求边c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可化简f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）由$f（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$且角A为锐角得：$A=\frac{π}{3}$．又由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$及b=2，可得c．

解答 解：（1）∵$f（x）=2sinxcosx+2\sqrt{3}{cos^2}x-\sqrt{3}$，∴$f（x）=sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin（2x+\frac{π}{3}）$（3分）∴$当2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z时，解得$$kπ+\frac{π}{12}≤x≤\frac{7π}{12}+kπ，k∈Z$（6分）
因此，函数f（x）的单调减区间为$[kπ+\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}+kπ]（k∈Z）$（7分）
（2）由$f（\frac{A}{2}-\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$且角A为锐角得：$A=\frac{π}{3}$    （9分）
又由正弦定理$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$及b=2，
∴$c=\frac{2sinC}{sinB}=\frac{2sin（A+B）}{sinB}=\frac{{sinB+\sqrt{3}cosB}}{sinB}=1+\frac{{\sqrt{3}}}{tanB}$（2分）
∵$\frac{π}{4}≤B≤\frac{π}{3}$，∴$2≤c≤1+\sqrt{3}$（14分）

点评 本题考查了倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性、正弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．