Question

10．已知数列{a_n}满足a_n+1=-$\frac{1}{{{a_n}+2}}$，其中a₁=0．
（1）求证$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a_n+a_n+1+…+a_2n-1．若T_n≤p-n对任意的n∈N^*恒成立，求p的最小值．

Answer 1

分析 （1）a_n+1=-$\frac{1}{{{a_n}+2}}$，可得a_n+1+1=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$，取倒数化简即可证明．
（2）T_n=a_n+a_n+1+…+a_2n-1≤p-n，可得n+a_n+a_n+1+…+a_2n-1≤p，即（1+a_n）+（1+a_n+1）+（1+a_n+2）+…+（1+a_2n-1）≤p，对任意n∈N^*恒成立，而1+a_n=$\frac{1}{n}$，设H（n）=（1+a_n）+（1+a_n+1）+…+（1+a_2n-1），考虑其单调性即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=-$\frac{1}{{{a_n}+2}}$，∴a_n+1+1=-$\frac{1}{{{a_n}+2}}$+1=$\frac{{a}_{n}+2-1}{{a}_{n}+2}$=$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n}+2}$，（2分）
由于a_n+1≠0，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}+1}$=$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}+1}$=1+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，（3分）
∴{$\frac{1}{{a}_{n}+1}$}是以1为首项，1为公差的等差数列．（4分）
$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=1+（n-1）=n，∴a_n=$\frac{1}{n}$-1．                  （6分）
（2）∵T_n=a_n+a_n+1+…+a_2n-1≤p-n，
∴n+a_n+a_n+1+…+a_2n-1≤p，
即（1+a_n）+（1+a_n+1）+（1+a_n+2）+…+（1+a_2n-1）≤p，对任意n∈N^*恒成立，（7分）
而1+a_n=$\frac{1}{n}$，
设H（n）=（1+a_n）+（1+a_n+1）+…+（1+a_2n-1），8 分
∴H（n）=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{2n-1}$，
H（n+1）=$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$，（9分）
∴H（n+1）-H（n）=$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n}$＜0，
∴数列{H（n）}单调递减，（10分）
∴n∈N^*时，H（n）≤H（1）=1，故p≥1．
∴p的最小值为1．（12分）

点评 本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等差数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．