Question

1．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+1=a_n+1+n²
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式可得数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，
（2）根据裂项求和，即可求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）S_n+1=a_n+1+n²，则S_n+1-S_n=a_n+1+n²-a_n-（n-1）²=a_n+1-a_n+（2n-1），
即a_n+1=a_n+1-a_n+（2n-1），
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1；
（2）${b_n}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
${T_n}={b_1}+{b_2}+…+{b_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数列的递推公式和裂项求和，属于中档题