Question

【题目】各项均为非负整数的数列{an}同时满足下列条件： ①a1=m（m∈N*）；②an≤n﹣1（n≥2）；③n是a1+a2+…+an的因数（n≥1）．
（Ⅰ）当m=5时，写出数列{an}的前五项；
（Ⅱ）若数列{an}的前三项互不相等，且n≥3时，an为常数，求m的值；
（Ⅲ）求证：对任意正整数m，存在正整数M，使得n≥M时，an为常数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） m=5时，数列{an}的前五项分别为：5，1，0，2，2．

（Ⅱ）∵0≤an≤n﹣1，∴0≤a2≤1，0≤a3≤2，

又数列{an}的前3项互不相等，

⑴当a2=0时，

若a3=1，则a3=a4=a5=…=1，

且对n≥3， 都为整数，∴m=2；

若a3=2，则a3=a4=a5=…=2，

且对n≥3， 都为整数，∴m=4；

⑵当a2=1时，

若a3=0，则a3=a4=a5=…=0，

且对n≥3， 都为整数，∴m=﹣1，不符合题意；

若a3=2，则a3=a4=a5=…=2，

且对n≥3， 都为整数，∴m=3；

综上，m的值为2，3，4．

（Ⅲ）证明：对于n≥1，令Sn=a1+a2+…+an，

则 ．

又对每一个n， 都为正整数，∴ ，其中“＜”至多出现m﹣1个．

故存在正整数M＞m，当n＞M时，必有 成立．

当 时，则 ．

从而 ．

由题设知 ，又 及an+1均为整数，

∴ =an+1= ，故 =常数．

从而 =常数．

故存在正整数M，使得n≥M时，an为常数

【解析】（Ⅰ）当m=5时，写出数列{an}的前五项；（Ⅱ）对a2、a3分类取值，再结合各项均为非负整数列式求m的值；（Ⅲ）令Sn=a1+a2+…+an，则 ．进一步推得存在正整数M＞m，当n＞M时，必有 成立．再由 成立证明an为常数．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)．