Question

5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，1），且g（x）=f（x-1），则f（2007）+f（2008）=-1．

Answer 1

分析 由题设条件函数f（x）是定义在R上的偶函数，定义在R上的奇函数g（x）且g（x）=f（x-1），可以得出函数的周期是4，再由奇函数g（x）过点（-1，1），可得出g（0）=0，再有g（x）=f（x-1）得出f（-1）=0，由这些性质求f（2007）+f（2008）的值．

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，故f（-x）=f（x），
定义在R上的奇函数g（x），且g（x）=f（x-1），故有f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1）=f（x+3），故T=4，
定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，1），∴g（-1）=1，g（1）=-1，
且g（x）=f（x-1），可得地f（0）=-1，f（-2）=1，
由奇函数的性质知，g（0）=0，故f（-1）=0，
则f（2007）+f（2008）=f（0）+f（-1）=-1，
故答案为：-1．

点评 本题考查函数奇偶性的性质，解题的关键是根据函数的奇偶性求出函数的周期，推测出函数值，再求综合利用所得出的这些结论求值．