Question

5．对任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]=2；[2.1]=2；[-2.2]=-3；这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂63]+[log₂64]+[log₂65]的值为270．

Answer 1

分析 利用“取整函数”和对数的性质，先把对数都取整后可知[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂64]=1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6，再进行相加运算．

解答 解：∵[log₂1]=0，[log₂2]到[log₂3]两个数都是1，
[log₂4]到[log₂7]四个数都是2，[log₂8]到[log₂15]八个数都是3，
[log₂16]到[log₂31]十六个数都是4，
[[log₂32]到[log₂63]三十二个数都是5，[log₂64]=6，[log₂65]=6，
∴[log₂1]+[log₂2]+[log₂3]+[log₂4]+…+[log₂64]=0+1×2+2×4+3×8+4×16+5×32+6×2=270．
故答案是：270．

点评 本题考查了对数的运算性质．正确理解“取整函数”的概念，把对数正确取整是解题的关键．