Question

20．已知曲线C：x²+2y²=8，设曲线C与y轴的交点为A、B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G，求证：A、G、N三点共线．

Answer 1

分析 由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k²+1）x²+16kx+24=0，△=32（2k²-3），解得：k²＞$\frac{3}{2}$，设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），MB方程为：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}$x-2，则G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），从而可得$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，-1），$\overrightarrow{AN}$=（x_N，kx_N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$共线，利用韦达定理，可以证明．

解答 证明：曲线C：x²+2y²=8，
当x=0时，y=±2，
故A（0，2），B（0，-2）
将直线y=kx+4代入椭圆方程x²+2y²=8得：（2k²+1）x²++16kx+24=0，
若y=kx+4与曲线C交于不同两点M，N，
则△=32（2k²-3）＞0，解得：k²＞$\frac{3}{2}$，
由韦达定理得：x_m+x_n=-$\frac{16k}{1+2{k}^{2}}$  ①，
x_m•x_n=$\frac{24}{1+2{k}^{2}}$    ②，
设N（x_N，kx_N+4），M（x_M，kx_M+4），G（x_G，1），
MB方程为：y=$\frac{k{x}_{M}+6}{{x}_{M}}$x-2，则G（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，1），
∴$\overrightarrow{AG}$=（$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$，-1），$\overrightarrow{AN}$=（x_N，kx_N+2），
欲证A，G，N三点共线，只需证$\overrightarrow{AG}$，$\overrightarrow{AN}$共线，
即$\frac{3{x}_{M}}{k{x}_{M}+6}$（kx_N+2）=-x_N，
将①②代入可得等式成立，
则A，G，N三点共线得证．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．