Question

15．由9个互不相等的正数组成的矩阵$（{\begin{array}{l}{{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}\\{{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}\\{{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}\end{array}}）$中，每行中的三个数成等差数列，且a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，下列四个判断正确的个数为4个．
①第2列a₁₂，a₂₂，a₃₂必成等比数列       
②第1列a₁₁，a₂₁，a₃₁不一定成等比数列
③a₁₂+a₃₂＞a₂₁+a₂₃  
④若9个数之和等于9，则a₂₂＜1．

Answer 1

分析 先由题意设列出由9个正数组成的矩阵，由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，则有：（b+m）²=（a+d）（c+n），得出①正确；再由（a+d）+（c+n）≥2 $\sqrt{（a+d）（c+n）}$=2（b+m），得到③④正确；再根据题设列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可．

解答 解：由题意设由9个正数组成的矩阵是：$（\begin{array}{l}{a}&{a+d}&{a+2d}\\{b}&{b+m}&{b+2m}\\{c}&{c+n}&{c+2n}\end{array}）$，
由a₁₁+a₁₂+a₁₃，a₂₁+a₂₂+a₂₃，a₃₁+a₃₂+a₃₃成等比数列，
则有：（b+m）²=（a+d）（c+n），故①正确；
（a+d）+（c+n）≥2 $\sqrt{（a+d）（c+n）}$=2（b+m），故③正确；
再题意设由9个正数组成的矩阵是：$（\begin{array}{l}{1}&{2}&{3}\\{2.5}&{4}&{5.5}\\{6.5}&{8}&{9.5}\end{array}）$，故②正确；
对于④，若9个数之和等于9，即3（a+d+b+m+c+n）=9，
∴b+m+a+d+c+n=3，
∴b+m=3-（a+d+c+n）≤3-2 $\sqrt{（a+d）（c+n）}$=3-2（b+m），
∴b+m≤1，即a₂₂≤1，故④正确；
故答案为：4个．

点评 本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．