Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点为.过作直线交椭圆于，过作直线交椭圆于，且垂直于点.

(Ⅰ)证明：点在椭圆内部；

(Ⅱ)求四边形面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：

(Ⅰ)由可求得，从而椭圆标准方程，再由已知求出点轨迹方程为，而此圆在题设椭圆内部，因此可证P点在椭圆内部；

(Ⅱ)分类讨论，当斜率不存在时，可求出四边形ABCD的面积，同理当斜率不0时，

与刚才一样，当斜率存在且不为0时，设方程为，这样就有方程为，设，利用圆锥曲线中的弦长公式求得弦长，同理可得弦长，于是可得面积为的函数，利用函数的知识可求得的最小值，从而得出结论.

详解：

(Ⅰ)由题意得,故,所以椭圆方程为.

由于分别为过两焦点, 且垂直相交于点,则的轨迹为以为直径的圆，

即的轨迹方程为,

又因为，所以点在椭圆内部.

(Ⅱ)①当斜率不存在时,直线的方程为, 此时直线的方程为,

此时四边形的面积为.

同时当斜率为0时,此时的斜率不存在,易得.

②当斜率存在且不为0时，设直线方程为,直线方程为,

设,联立，消去整理得,

所以,

所以.

同理得

则

令，则

即当，即时，

综合上式①②可得，当时， .

求最值的其它方法: ,令,得,

因为,当时， ,且是以为自变量的增函数，所以.

综上可知, . 即四边形面积的最小值为.

方法二:①当斜率为0,此时直线轴,此时四边形的面积为.

同时当斜率为0时，此时轴，易得.

②当斜率存在且不为0时,设直线方程为,直线方程为,

设，联立,消去整理得,

所以,

所以.

同理得

则

下同解法一.