Question

10．已知数列{a_n}满足：a₁=1，（2n-1）a_n+1=（2n+1）a_n，（n∈N^*），则有a_n=2n-1．

Answer 1

分析 化简（2n-1）a_n+1=（2n+1）a_n为$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，从而利用累积法求a_n．

解答 解：∵（2n-1）a_n+1=（2n+1）a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n+1}{2n-1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3}{1}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{3}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{2n-1}{2n-3}$；
由累积法可得，
$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{3}{1}$•$\frac{5}{3}$•…•$\frac{2n-1}{2n-3}$，
即a_n=a₁•（2n-1）=2n-1；
当n=1时也成立；
故答案为：a_n=2n-1．

点评 本题考查了数列的递推公式的应用及累积法的应用．