Question

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，右准线l与两条渐近线交于P，Q两点，右焦点为F，且△PQF为等边三角形．
（1）求双曲线C的离心率e的值；
（2）若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为

b2e2

a

，求双曲线C的方程；
（3）设双曲线C经过点（1，0），以F为左焦点，L为左准线的椭圆，其短轴的端点为B，求BF中点的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）求出准线与渐近线的交点P，Q，求出线段PQ的距离，△PQF为等边三角形建立方程求出a，b的关系，与c²=a²+b²联立求e．
（2）利用弦长公式建立关于方程，再结合（1）的结论解a，b的值．
（3）双曲线C经过点（1，0），结合（1）的结论，求出曲线C的方程，利用双曲线的性质求出准线方程与焦点坐标，利用椭圆的定义建立方程整理成标准形式即可．

解答：解：（1）右准线l：x=

a2

c

，两条渐近线方程是y=±

b

a

x，二者联立得，y=±

ab

c

又△PQF为等边三角形
∴

ab c

c- a2 c

=

3

3

得b=

3

a，即c²-a²=3a²，
∴c=2a，
即e=2
（2）有（1）b=

3

a，故双曲线的方程可以变为3x²-y²=3a²
将y=ax+b代入得3x²-（ax+b）²=3a²
整理得（3-a²）x²-2

3

a²x-6a²=0
所以两根之和为

2 3 a2

3-a2

，两根之积为-

6a2

3-a2

由弦长公式得

4b2

a

=

1+a2

|x₁-x₂|=

1+a2

×

( 2 3 a2 3-a2 )2+4× 6a2 3-a2

解得a²=

9

7

，b²=

27

7

故双曲线的方程是

x2

9 7

-

y2

27 7

=1
（3）有（1）b=

3

a，故双曲线的方程可以变为3x²-y²=3a²
又双曲线C经过点（1，0），所以 a=1，c=2

2-e2

2(1-e2)

故F（2，0），左准线L：x=

1

2

设椭圆上一点坐标为（x，y），由椭圆的第二定义得

(x-1)2+y2

x-1

=e，整理得

(x+ e2-2 2(1-e2) )2

1 1-e2

+y2=1
若点B是上端点，则B（

2-e2

2(1-e2)

，1），
故BF中点的坐标（x，y）所满足的方程是

x= 2-e2 1-e2 y= 1 2

（0＜e＜1）

点评：考查双曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系中的求弦长，代入法求轨迹方程的相关知识与方法，题目难度较大，不易转化．综合性较强