Question

某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成茎叶图如图（单位：cm）若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？
（Ⅱ）若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株数，试写出X的分布列，并求X的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图

专题：概率与统计

分析：（1）结合排列组合知识求解，（2）先求出随机变量X的值，再分别求出概率，得出分布列，运用数学期望的公式求解．

解答： 解：（Ⅰ）根据茎叶图知，“生长良好”的有12株，“非生长良好”的有18株．
用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是

5

30

=

1

6

，
“生长良好”的有12×

1

6

=2株，“非生长良好”的有18×

1

6

=3株．
用事件A表示“至少有一株‘生长良好’的被选中”，
则P(A)=1-

C 2 3

C 2 5

=1-

3

10

=

7

10

，
因此从5株树苗中选2株，至少有一株“生长良好”的概率是

7

10

，
（Ⅱ）依题意，一共有12株生长良好，其中A种树苗有8株，B种树苗有4株，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X=0)=

C 3 8

C 3 12

=

14

55

；P(X=1)=

C 2 8 C 1 4

C 3 12

=

28

55

；P(X=2)=

C 2 4 C 1 8

C 3 12

=

12

55

；P(X=3)=

C 3 4

C 3 12

=

1

55

．
因此X的分布列如下：

X	0	1	2	3
P	14 55	28 55	12 55	1 55

所以X的数学期望：0×

14

55

+1×

28

55

+2×

12

55

+3×

1

55

=1

点评：本考查了实际问题和概率问题，统计知识与古典概率的求解，属于难题．