Question

如图，平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=6，O为AC，BD的交点．将四边形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B-ACD，且BD=3

2

．
（Ⅰ）若M点是BC的中点，求证：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A-BD-O的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）根据已知条件知O为AC中点，所以OM∥AB，从而根据线面平行的判定定理得到OM∥平面ABD；
（Ⅱ）根据已知条件可得到∠BOD=90°，从而得到三条直线OD，OC，OB两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．取BD中点E，连接OE，AE，便可说明∠AEO是二面角A-BD-O的平面角，而∠AEO等于向量

OE

，

AE

的夹角，所以求向量

OE

，

AE

的坐标，代入两向量夹角的余弦公式求cos∠AEO即可．

解答： 解：（Ⅰ）根据已知条件知四边形ABCD是菱形，O是AC中点；
又M点是BC中点，∴OM是△ABC的中位线；
∴OM∥AB，AB?平面ABD，OM?平面ABD；
∴OM∥平面ABD；
（Ⅱ）如图，根据已知OB=OD=3，BD=3

2

；
∴∠BOD=90°，即OB⊥OD，又由已知条件OD⊥OC，OC⊥OB；
∴OD，OC，OB三条直线两两垂直，所以分别以这三条直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系；
则能确定以下几点坐标：
O（0，0，0），A（（0，-3

3

，0），B（0，0，3），D（3，0，0）；
取BD中点E并连接OE，AE，∵OB=OD，AB=AD；
∴BD⊥OE，BD⊥AE；
∴∠AEO是二面角A-BD-O的平面角，∠AEO等于向量

OE

，

AE

的夹角；
E（

3

2

，0，

3

2

），

OE

=(

3

2

，0，

3

2

)，

AE

=(

3

2

，3

3

，

3

2

)；
∴cos∠AEO=

OE • AE

| OE || AE |

=

9 2

9 7 2

=

7

7

；
∴二面角A-BD-O的余弦值为

7

7

．

点评：考查线面平行的判定定理，通过建立空间直角坐标系，利用向量求二面角的方法，以及二面角的平面角的概念，两向量夹角的余弦公式的坐标运算．