给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为
，且其短轴上的一个端点到
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程和其“准圆”方程；
(Ⅱ)点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
，使得与椭圆都只有一个交点，试判断是否垂直，并说明理由．
(Ⅰ) 
，
；(Ⅱ)垂直.
【解析】
试题分析：(Ⅰ)利用焦点坐标求出
，利用短轴上的一个端点到
的距离为
，求出
，解出
，
，写出椭圆方程，通过得到的，求出准圆的半径，直接写出准圆方程；(Ⅱ)分情况讨论：①当
中有一条直线的斜率不存在时，②当的斜率都存在时.
试题解析：(Ⅰ)由题意可知，，则，，
所以椭圆方程为.
2分
易知准圆半径为
，
则准圆方程为.
4分
(Ⅱ)①当中有一条直线的斜率不存在时，
不妨设
的斜率不存在，因为与椭圆只有一个公共点，则其方程为
，
当的方程为
时，此时与准圆交于点
，
，
此时经过点或且与椭圆只有一个公共点的直线是
或
，
即
为或，显然直线垂直；
6分
同理可证直线的方程为
时，直线也垂直． 7分
②当的斜率都存在时，设点
，其中
.
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
，
由
消去
，得
.
由
化简整理得，
. 因为，
所以有
.
10分
设直线的斜率分别为
，因为与椭圆只有一个公共点，
所以满足方程，
所以
，即垂直．
12分
综合①②知，垂直． 13分
考点：1.椭圆方程；2.分类讨论思想解题.
科目：高中数学 来源：2012-2013学年河北省高三第二次模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
（本题满分12分）给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距离为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程.
（Ⅱ）点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
使得与椭圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点
，求证：
为定值.
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科目：高中数学 来源：2012年山东省高考模拟预测卷（四）文科数学试卷（解析版） 题型：解答题
给定椭圆
：
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆的“伴随圆”． 已知椭圆的两个焦点分别是
，椭圆上一动点
满足
．
（Ⅰ）求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）过点P
作直线
,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为
．求出
的值．
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省潍坊市高三2月月考理科数学 题型：解答题
（本小题满分12分）
给定椭圆
：
，称圆心在原点
，半径为
的圆是
椭圆的“准圆”。若椭圆的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
的距
离为
.
（Ⅰ）求椭圆的方程和其“准圆”方程.
（Ⅱ）点
是椭圆的“准圆”上的一个动点，过动点作直线
使得与椭
圆都只有一个交点，且分别交其“准圆”于点
；
（1）当为“准圆”与
轴正半轴的交点时，求的方程.
（2）求证：
为定值.
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科目：高中数学 来源：2010-2011学年广东省汕头市高三第一次模拟考试数学文卷 题型：解答题
（本小题满分14分）
给定椭圆
：
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆的“伴随圆”．
已知椭圆的两个焦点分别是
，椭圆上一动点
满足
．
(Ⅰ) 求椭圆及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ） 过点P
作直线
,使得直线与椭圆只有一个交点，且截椭圆的“伴随圆”所得的弦长为
．求出
的值．
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