Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P、M为空间任意两点，且

PM

=

PB1

+6

AA1

+7

BA

+4

A1D1

，则M点一定

 

平面BA₁D₁内．（填“在”或“不在”）

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：空间向量及应用

分析：根据题意，建立空间直角坐标系，设出点P、M的坐标，求出平面BA₁D₁的方程，验证点M是否在平面内即可．

解答： 解：以A点为原点建立坐标系，如图所示，
设正方体边长为1，
则

BA

=（-1，0，0），

AA1

=（0，0，1），

A1D1

=（0，1，0），
∵

PM

=

PB1

+6

AA1

+7

BA

+4

A1D1′

，
∴

PM

-

PB1

=6

AA1

+7

BA

+4

A1D1′

=（-7，4，6），
设P（0，0，0），M（x，y，z）；
∴

PB1

=（1，0，1），
所以

PM

=（-7，4，6）+（1，0，1）=（-6，4，7），
而平面BA₁D₁的方程为x+z-1=0，
把点M的坐标（-6，4，7）代入，满足平面方程，
∴M点在平面BA₁D₁内．
故答案为：在．

点评：本题考查了空间向量的应用问题，解题时应建立适当的空间直角坐标系，设出点的坐标，是较难的题目．