Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为DD₁中点．
（1）求AA₁和BD₁所成的角的余弦值．；
（2）求证：BD₁∥平面ACM．

Answer 1

解：（1）设正方体的棱长为1，则∠D₁BB₁ 即为AA₁和BD₁所成的角．
Rt△D₁BB₁中，cos∠D₁BB₁===，即AA₁和BD₁所成的角的余弦值为 ．
（2）证明：设AC和 BD交与点O，又M为DD₁中点，则由正方体的性质可得 OM 是三角形DBD₁ 的中位线，
∴OM∥BD₁ ．而 OM?平面ACM，BD₁ 不在平面ACM内，故 BD₁∥平面ACM．
分析：（1）设正方体的棱长为1，由正方体的性质可得∠D₁BB₁ 即为AA₁和BD₁所成的角，Rt△D₁BB₁中，根据cos∠D₁BB₁=，
运算求得结果．
（2）设AC和 BD交与点O，又M为DD₁中点，则由正方体的性质可得 OM 是三角形DBD₁ 的中位线，则有OM∥BD₁，由此证得
BD₁∥平面ACM．
点评：本题考查异面直线所成的角的定义和求法，直线和平面平行的判定方法，利用正方体的性质是解题的关键．