Question

设复数z₁=1+2ai，z₂=a-i（a∈R），A={z||z-z1|＜

2

}，B={z||z-z2|≤2

2

}，已知A∩B=∅，则a的取值范围是

a≤-2或a≥

8

5

．

Answer 1

分析：利用复数的减法的几何意义可得：集合A是以O₁（1，2a）为圆心，r=

2

为半径的圆的内部的点所对应的复数集合；集合B是以O₂（a，-1）为圆心，R=2

2

为半径的圆周及其内部的点所对应的复数集合．由已知A∩B=∅，可得|O₁O₂|≥R+r．解出即可．

解答：解：∵复数z₁=1+2ai，z₂=a-i（a∈R），
∴|z-z1|＜

2

即|z-(1+2ai)|＜

2

；
|z-z2|≤2

2

，即|z-(a-i)|≤2

2

．
由复数的减法的几何意义可得：集合A是以O₁（1，2a）为圆心，r=

2

为半径的圆的内部的点所对应的复数集合；
集合B是以O₂（a，-1）为圆心，R=2

2

为半径的圆周及其内部的点所对应的复数集合．
∵A∩B=∅，∴|O₁O₂|≥R+r．
∴

(1-a)2+(2a+1)2

≥3

2

．
解得a≤-2或a≥

8

5

．
故答案为a≤-2或a≥

8

5

．

点评：熟练掌握复数的减法的几何意义、圆的标准方程、交集的运算、一元二次不等式的解法等是解题的关键．