Question

（2012•广安二模）已知数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，同{a_n}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b₁=1，b₂=5，b₃=17．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=

C

1 n

b1+

C

2 n

b₂+

C

3 n

b₃+…+

C

n n

b_n，求

lim

n→∞

Tn

4n+bn

．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，a52=a1•a17，结合等差数列的通项公式及d≠0可求a₁=2d，进而可求等比数列{abn}的公比q=

a5

a1

，由等比数列的通项公式可求abn，在利用等差数列的通项公式可求abn=a1+(bn-1)d，从而可求
（2）由T_n=

C

1 n

b1+

C

2 n

b₂+

C

3 n

b₃+…+

C

n n

b_n，利用分组求和及组合数的性质可求T_n，代入

lim

n→∞

Tn

4n+bn

=

lim

n→∞

2 3 •4n-2n+ 1 3

4n+2•3n-1-1

，分子分母同时除以4ⁿ即可求解

解答：解：（1）由题意可知，a52=a1•a17
即(a1+4d)2=a1(a1+16d)
∴a1d=2d2
∵d≠0
∴a₁=2d
∴数列{abn}的公比q=

a5

a1

=

a1+4d

a1

=3
∴abn=a1•3n-1①
∵abn=a1+(bn-1)d=

1+bn

2

a1②
联立①②可得，a1•3n-1=

1+bn

2

•a1
∴bn=2•3n-1-1
（2）∵T_n=

C

1 n

b1+

C

2 n

b₂+

C

3 n

b₃+…+

C

n n

b_n，
=

c

1 n

(2•30-1)+

c

2 n

(2•31-1)+…+

c

n n

(2•n-1-1)
=

2

3

(3

C

1 n

+32

C

2 n

+…+3n

C

n n

)-

(C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n n

)
=

2

3

[(1+3)n-1]-(2n-1)]
∴

lim

n→∞

Tn

4n+bn

=

lim

n→∞

2 3 •4n-2n+ 1 3

4n+2•3n-1-1

=

lim

n→∞

2 3 -( 1 2 )n+ 1 3 •( 1 4 )n

1+ 1 2 •( 3 4 )n-1-( 1 4 )n

=

2

3

点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式及性质的综合应用，其中（2）的求解关键在于灵活利用组合数的性质．