Question

已知函数f（x）=x+

9

x

，
（1）判断函数在区间（0，3]上是增函数还是减函数？并用定义证明你的结论．
（2）求f（x）在区间（0，3]上的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）借助简图判断单调性，定义法证明分五步；（2）由单调性求值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=x+

9

x

在区间（0，3]上是减函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈（0，3]，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

9

x1

-（x₂+

9

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-9)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂≤3，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-9＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x）=x+

9

x

在区间（0，3]上是减函数．
（2）∵f（x）=x+

9

x

在区间（0，3]上是减函数，
∴f（x）≥f（3）=6，
即f（x）在区间（0，3]上的值域为[6，+∞）．

点评：本题考查了函数的基本性质，属于基础题．