Question

已知函数f（x）=2sin（

1

3

x+φ）（x∈R，0＜φ＜

π

2

）的图象过点M（

π

2

，

3

）．
（1）求φ的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+π）=

10

13

，f（3β+

5π

2

）=-

6

5

，求sin（α-β）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值

分析：（1）依题意求得sin（

π

6

+φ）=

3

2

，结合0＜φ＜

π

2

求得φ的值．
（2）由条件求得cosα=

5

13

，sinβ=

3

5

．根据α，β∈[0，

π

2

]，利用同角三角函数的基本关系求得inα 和cosβ 的值，从而求得 sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ 的值．

解答： 解：（1）依题意得2sin（

π

6

+φ）=

3

，即sin（

π

6

+φ）=

3

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴

π

6

＜φ+

π

6

＜

2π

3

，∴φ+

π

6

=

π

3

，φ=

π

6

．
（2）∵f（3α+π）=2sin（α+

π

2

）=2cosα=

10

13

，∴cosα=

5

13

．
∵f（3β+

5π

2

）=2sin（β+π）=-2sinβ=-

6

5

，∴sinβ=

3

5

．
∵α，β∈[0，

π

2

]，∴sinα=

1-cos2α

=

12

13

，cosβ=

1-sin2β

=

4

5

，
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=

12

13

×

4

5

-

5

13

×

3

5

=

33

65

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、诱导公公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．