Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知Q、P、R、S分别是各棱的中点．求证：平面PQS⊥平面B₁RC．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：建立空间直角坐标系，先证PS垂直RC，PS垂直B₁R得到PS⊥平面 B₁RC，再利用面面垂直的判定定理解答．

解答： 证明：分别以BA，BC，BB'为x，y，z轴建立坐标系，设正方体的棱长为2，
则R（1，0，0），C（0，2，0），B₁（0，0，2），S（0，0，1），P（2，1，2），
所以

RC

=（-1，2，0），

B1C

=（0，2，-2），

PS

=（2，1，1），
因为

RC

•

PS

=-2+2+0=0，

B1C

•

PS

=0+2-2=0，
所以RC⊥PS，B₁C⊥PS，
所以PS⊥平面B₁RC，
PS?平面PSQ，
所以平面PQS⊥平面B₁RC．

点评：本题考查了正方体为载体的面面垂直的判断；关键是将面面垂直转化为线面垂直和线线垂直，体现了转化的思想．