Question

已知函数f（x）=ln（x²+1）-（ax-2）．
（1）若|a|≤1，求f（x）的单调区间；
（2）令g(x)=

1

2

x2-ax+a+

3

2

，是否存在实数a使得f（x）的图象与g（x）的图象恰有四个不同的交点，若存在，求a的取值范围；否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）求导函数，对a进行分类讨论：①当a=0时，f'（x）＞0时x＞0，f'（x）＜0时x＜0；②当a≠0且|a|≤1时，考虑a=1，a=-1，-1＜a＜0，0＜a＜1利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）f（x）的图象与g（x）的图象恰有四个不同的交点，则f（x）=g（x）有四个根，即a=ln（x²+1）-

1

2

x2+

1

2

，构造新函数，确定函数的极值，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数可得f'（x）=

-ax2+2x-a

x2+1

①当a=0时，f'（x）＞0时x＞0，即函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f'（x）＜0时x＜0，即函数f（x）在（-∞，0）上单调递减；
②当a≠0且|a|≤1时，由f'（x）=0，得ax²-2x+a=0，∴x1=

1- 1-a2

a

，x2=

1+ 1-a2

a

1°a=1时，f'（x）≤0，∴函数f（x）在R上单调递减；
2°a=-1时，f'（x）≥0，∴函数f（x）在R上单调递增；
3°当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0可得x＜x₁或x＞x₂，即函数f（x）在（-∞，

1- 1-a2

a

）、（

1+ 1-a2

a

，+∞）上单调递增，在（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）上单调递减；
4°当0＜a＜1时，由f'（x）＞0可得x₁＜x＜x₂，即函数f（x）在（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）上单调递增，在（-∞，

1- 1-a2

a

）、（

1+ 1-a2

a

，+∞）上单调递减；　　　　　　　　　　　　　
（2）f（x）的图象与g（x）的图象恰有四个不同的交点，则f（x）=g（x）有四个根，即a=ln（x²+1）-

1

2

x2+

1

2

令G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x2+

1

2

，则 G′（x）=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
G′（x）	+	0	-	0	+
G（x）		ln2		1 2		ln2

∴x=0时，函数取得极小值

1

2

，x=±1时，函数确定极大值 ln2
∴a∈（

1

2

，ln2）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查函数图象的交点，考查函数的极值，综合性强．