Question

如图F₁、F₂是椭圆C₁：+y²=1与双曲线C2的公共焦点A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点，若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：不妨设|AF₁|=x，|AF₂|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C₂的离心率．
解答：解：设|AF₁|=x，|AF₂|=y，∵点A为椭圆C₁：+y²=1上的点，
∴2a=4，b=1，c=；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四边形AF₁BF₂为矩形，
∴+=，即x²+y²=（2c）²==12，②
由①②得：，解得x=2-，y=2+，设双曲线C₂的实轴长为2a，焦距为2c，
则2a=，|AF₂|-|AF₁|=y-x=2，2c=2=2，
∴双曲线C₂的离心率e===．
故选D．
点评：本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF₁|与|AF₂|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．