Question

已知平面向量

α

，

β

(

α

≠

0

，

α

≠

β

)满足|

α

|=2，且

α

与

β

-

α

的夹角为120°，则|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）的最小值是

3

．

Answer 1

分析：由已知中中平面向量

α

，

β

(

α

≠

0

，

α

≠

β

)满足|

α

|=2，且

α

与  

β

-

α

的夹角为120°，我们根据向量加法的三角形法则，可得当t|

β

-

α

|=

1

2

时，|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）取最小值，进而求出|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）的最小值．

解答：解：∵平面向量

α

，

β

(

α

≠

0

，

α

≠

β

)满足|

α

|=2，且

α

与  

β

-

α

的夹角为120°，
故当t（

β

-

α

）满足t|

β

-

α

|=

1

2

时，|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）取最小值
此时由向量加法的三角形法则可得
|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）的最小值是

3

故答案为：

3

点评：本题考查的知识点是向量的模，向量在几何中的应用，其中根据

α

与  

β

-

α

的夹角为120°，结合向量加法的三角形法则，及连接直线上的点与直线外一点的线段中，垂线段最短得到当t|

β

-

α

|=

1

2

时，|(1-t)

α

+t

β

|（t∈R）取最小值，是解答本题的关键．