Question

已知函数f(x)=

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x3+ax2+(2a-1)x．
（1）若f'（-3）=0，求a的值；
（2）若a＞1，求函数发f（x）的单调区间与极值点；
（3）设函数g（x）=f'（x）是偶函数，若过点A(1，m)(m≠-

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)可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导数fˊ（x），解方程f'（-3）=0，即可求得结论；（2）求导数fˊ（x），根据a＞1，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函数的单调区间和极值点；（3）设出曲线过点P切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可；

解答：解：f′（x）=x²+2ax+2a-1
（1）∵f'（-3）=0，∴9-6a+2a-1=0，
解得：a=2；
（2）f'（x）=（x+1）（x+2a-1），
∵a＞1，由f'（x）=（x+1）（x+2a-1）＞0
得x＜1-2a或x＞-1，所以f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞）；
由f'（x）=（x+1）（x+2a-1）＜0得1-2a＜x＜-1，
所以f（x）的单调减区间为（1-2a，-1）；
且x=1-2a是极大值点，x=-1是极小值点；
（3）∵g（x）=f'（x）是偶函数，
∴a=0
∴f(x)=

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x3 -x，设曲线线 过点A(1，m)(m≠-

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)的切线相切于点P（x₀，

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x03-x0 ），
则切线的斜率 k=x₀²-1，
∴切线方程为y-（

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x03-x0）═（x₀²-1）（x-x₀），
∵点A（1，m）在切线上，
∴m-（

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x03-x0）=（x₀²-1）（1-x₀），
解得m=-

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x03+x02-1
令h（x）=-

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x 3+x 2-1，
则h′（x）=-2x²+2x=2x（1-x）=0，解得x=0，x=1当x=0时，
h（x）去极小值-1，当x=1时，h（x）去极大值-

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，
∴实数m的取值范围是-1＜m＜-

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．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和利用导数求闭区间上函数的最值，以及利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了分析解决问题的能力和运算能力，属于难题．