Question

13．已知关于x的不等式tx²-6x+t²＜0的解集是（-∞，a）∪（1，+∞）；函数f（x）=-$\frac{1}{3}$tx²+$\frac{2}{3}$ax-8．
（1）求a和t的值；
（2）若对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用不等式的解集，列出不等式组，即可求a和t的值；
（2）通过对一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，分离变量，利用基本不等式求出最值，然后求实数m的取值范围．

解答 解：（1）依题意可得$\left\{\begin{array}{l}{t＜0}\\{a+1=\frac{6}{t}}\\{a•1=t}\end{array}\right.$，解得t=-3，a=-3．
（2）由（1）f（x）=x²-2x-8．当x＞2时，f（x）≥（m+2）x-m-15恒成立，
∴x²-2x-8≥（m+2）x-m-15，即x²-4x+7≥m（x-1）．∴对一切x＞2，均有不等式$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$≥m成立．
而$\frac{{x}^{2}-4x+7}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$-2≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$-2=2．（当且仅当x-1=$\frac{4}{x-1}$即x=3时等号成立）
∴实数m的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查函数恒成立，基本不等式的应用，不等式的解法，考查计算能力．