Question

13．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），其图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）恒成立，则φ的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]
• B． [$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]
• C． [$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]
• D． （$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]

Answer 1

分析 由题意求得sin（ωx+φ）=-1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=-1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有-$\frac{π}{6}$+φ≥2kπ，且 $\frac{2π}{3}$+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．

解答 解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的图象与直线y=-1相邻两个交点的距离为π，
令2sin（ωx+φ）+1=-1，即sin（ωx+φ）=-1，
即 函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=-1邻两个交点的距离为π，
故 T=$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．
由题意可得，当x∈（-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$）时，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，
故有-$\frac{π}{6}$+φ≥2kπ，且 $\frac{2π}{3}$+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+$\frac{π}{6}$，且φ≤2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故φ的取值范围是[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
结合所给的选项，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的图象特征，解三角不等式，属于基础题．