Question

已知函数＝x²－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m．
(Ⅰ)若方程f(x)=0在[－1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
(Ⅱ)当a＝0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)＝g(x₂)成立，求实数m的取值范围；
(Ⅲ)若函数y＝f(x)（x∈[t，4]）的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7－2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q－p）．

Answer 1

（1）[－8，0] ；（2）；（3）t＝－1或．

试题分析：（1）函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：；（2）确定值域关系即集合关系，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)＝g(x₂)成立，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．（3）分类讨论，确定二次函数的值域.
试题解析：(Ⅰ)：因为函数＝x²－4x＋a＋3的对称轴是x＝2，
所以在区间[－1，1]上是减函数，      1分
因为函数在区间[－1，1]上存在零点，则必有：
即，        4分
解得，故所求实数a的取值范围为[－8，0] ．      5分
(Ⅱ)若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f(x₁)＝g(x₂)成立，只需函数y＝f(x)的值域为函数y＝g(x)的值域的子集．
＝x²－4x＋3，x∈[1，4]的值域为[－1，3]，      7分
下求g(x)＝mx＋5－2m的值域．
①当m＝0时，g(x)＝5－2m为常数，不符合题意舍去；
②当m＞0时，g(x)的值域为[5－m，5＋2m]，要使[－1，3] [5－m，5＋2m]，
需，解得m≥6；      9分
③当m＜0时，g(x)的值域为[5＋2m，5－m]，要使[－1，3] [5＋2m，5－m]，
需，解得m≤－3；
综上，m的取值范围为．      10分
(Ⅲ)由题意知，可得．
①当t≤0时，在区间[t，4]上，f(t)最大，f(2)最小，
所以f(t)－f(2)＝7－2t即t²－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去）；
②当0＜t≤2时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(2)最小，
所以f(4)－f(2)＝7－2 t即4＝7－2t，解得t＝；      12分
③当2＜t＜时，在区间[t，4]上，f(4)最大，f(t)最小，
所以f(4)－f(t)＝7－2t即t²－6t＋7＝0，解得t＝（舍去），
综上所述，存在常数t满足题意，t＝－1或．          14分