Question

已知f（x）=x²+|2x-4|+a．
（1）当a=-3时，求不等式f（x）＞x²+|x|的解集；
（2）若不等式f（x）≥0的解集为实数集R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=-3时，f（x）=x²+|2x-4|-3，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）＞x²+|x|的解集；
（2）f（x）≥0的解集为实数集R?a≥-x²-|2x-4|，通过对x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，可求得-x²-|2x-4|的最大值为-3，从而可得实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=-3时，f（x）=x²+|2x-4|-3，
当x≤0时，由f（x）＞x²+|x|得-x+1＞0，得x＜1，
∴x≤0．
当0＜x≤2时，由f（x）＞x²+|x|得-3x+1＞0，解得x＜

1

3

．
∴0＜x＜

1

3

．
当x＞2时，由f（x）＞x²+|x|得x-7＞0，解得x＞7．
∴x＞7．
当a=-3时，f（x）＞x²+|x|的解集为{x|x＜

1

3

或x＞7}．
（2）f（x）≥0的解集为实数集R?a≥-x²-|2x-4|，
当x≥2时，-x²-|2x-4|=-x²-2x+4=-（x+1）²+5≤-4，
当x＜2时，-x²-|2x-4|=-x²+2x-4=-（x-1）²-3≤-3，
∴-x²-|2x-4|的最大值为-3．
∴实数a的取值范围为[-3，+∞）．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想的应用，去掉绝对值符号是解不等式的关键，属于中档题．